การย้าย ค่าเฉลี่ย ตัด ความถี่

ฉันต้องออกแบบกรองเฉลี่ยเคลื่อนไหวที่มีความถี่ตัดเป็น 7 8 Hz ฉันได้ใช้ตัวกรองเฉลี่ยเคลื่อนที่ก่อน แต่เท่าที่ฉันทราบพารามิเตอร์เฉพาะที่สามารถป้อนในจำนวนจุดที่จะเป็น โดยเฉลี่ยแล้วจะสัมพันธ์กับความถี่ในการตัดได้อย่างไรการผกผันของ 7 8 Hz เท่ากับ 30 ms และฉันกำลังทำงานกับข้อมูลที่สุ่มตัวอย่างที่ 1000 Hz นั่นหมายความว่าฉันควรจะใช้ขนาดหน้าต่างกรองเฉลี่ย ของตัวอย่าง 130 หรือมีอย่างอื่นที่ฉัน m นี่ here here. asked Jul 18 13 at 9 52.The กรองเฉลี่ยเคลื่อนที่เป็นตัวกรองที่ใช้ในโดเมนเวลาเพื่อลบเสียงเพิ่มและยังเรียบวัตถุประสงค์ แต่ถ้าคุณใช้ ตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่เดียวกันในโดเมนความถี่สำหรับการแยกความถี่จากนั้นประสิทธิภาพจะแย่ที่สุดดังนั้นในกรณีดังกล่าวใช้ตัวกรองความถี่โดเมน user19373 Feb 3 16 at 5 53. ตัวกรองเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่รู้จักกันในชื่อ colloquially เป็นตัวกรอง boxcar มีการตอบสนองของแรงกระตุ้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือ , กล่าวว่าแตกต่างกันจำได้ว่า discrete - time ของระบบตอบสนองความถี่เท่ากับการแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องเวลาของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่เราสามารถคำนวณได้ดังนี้สิ่งที่เราสนใจมากที่สุดสำหรับกรณีของคุณคือการตอบสนองขนาดของตัวกรองเอชโอเมก้าใช้คู่ manipulations ง่าย เราสามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้นในรูปแบบนี้อาจดูไม่ง่ายที่จะเข้าใจอย่างไรก็ตามเนื่องจากการจำแนกตัวตนของออยเลอร์ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนข้างต้นได้ตามที่ได้กล่าวมาก่อนแล้วสิ่งที่คุณทำจริง ความกังวลเกี่ยวกับขนาดของการตอบสนองต่อความถี่ดังนั้นเราสามารถใช้ขนาดของข้างต้นเพื่อลดความซับซ้อนของมันต่อไปหมายเหตุเราสามารถที่จะลดเงื่อนไขการชี้แจงออกเพราะพวกเขา don t ส่งผลกระทบต่อขนาดของผลลัพธ์ e 1 สำหรับค่าทั้งหมดของ omega ตั้งแต่ xy xy สำหรับสองจำนวนเชิงซ้อนที่ซับซ้อน x และ y เราสามารถสรุปได้ว่าการปรากฏตัวของคำเอกซเรย์ don t ส่งผลกระทบต่อการตอบสนองขนาดโดยรวมแทนพวกเขามีผลต่อการตอบสนองของระบบ s เฟสผลฟังก์ชันที่อยู่ภายในวงเล็บขนาด เป็นรูปแบบของ Dirichlet เคอร์เนลบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชัน sinc sinc เนื่องจากมีลักษณะคล้ายกับฟังก์ชัน sinc ค่อนข้างมีลักษณะ แต่เป็นระยะ ๆ แทนอย่างไรก็ตามเนื่องจากความหมายของความถี่ตัดเป็นจุดที่ไม่ได้ระบุไว้ -3 dB จุด -6 dB point แรก sidelobe โมฆะคุณสามารถใช้สมการข้างต้นเพื่อแก้ปัญหาสำหรับสิ่งที่คุณต้องการโดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณสามารถทำต่อไปนี้ Set H โอเมก้าค่าที่สอดคล้องกับการตอบสนองตัวกรองที่คุณต้องการที่ cutoff frequency. Set โอเมก้าเท่ากับความถี่ตัด ในการทำแผนที่ความถี่ต่อเนื่องไปยังโดเมนแบบไม่ต่อเนื่องโปรดจำไว้ว่า omega 2 pi frac ซึ่ง fs คืออัตราตัวอย่างของคุณค้นหาค่า N ซึ่งให้ข้อตกลงที่ดีที่สุดระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ ควรเป็นความยาวของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของคุณถ้า N คือความยาวของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่จากนั้นความถี่ตัดที่ F ที่ถูกต้องสำหรับ N 2 ในความถี่ปกติ F f fs คือผกผันของสูตรนี้คือสูตรนี้คือ asymptotically cor rect สำหรับ N ขนาดใหญ่และมีข้อผิดพลาด 2 ข้อสำหรับ N 2 และน้อยกว่า 0 5 สำหรับ N 4PS หลังจากสองปีที่นี่แล้วสิ่งที่เป็นแนวทางตามผลที่ได้ขึ้นอยู่กับการประมาณสเปกตรัม amplitude ของ MA รอบ f 0 เป็น พาราโบลาลำดับที่ 2 ตามลำดับ MA Omega ประมาณ 1 Frac - Frac Omega 2 ซึ่งสามารถทำขึ้นได้อย่างแม่นยำใกล้ศูนย์ข้ามของ MA Omega - Frac โดยการคูณโอเมก้าโดยค่าสัมประสิทธิ์การใช้ Omega ประมาณ 1 0 907523 Frac - Frac Omega 2 การแก้ปัญหาของ MA Omega - frac 0 ให้ผลลัพธ์ข้างต้นโดยที่ 2 pi F Omega. All จากข้างต้นเกี่ยวข้องกับ -3dB ตัดความถี่เรื่องของโพสต์นี้บางครั้งแม้ว่าจะเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะได้รับการลดทอนโปรไฟล์ในวงหยุดซึ่งเปรียบได้ กับที่ 1 สั่ง IIR Low Pass กรองเสาเดียว LPF กับ -3dB ตัดความถี่เช่น LPF เรียกว่า integrator รั่วมีขั้วไม่ตรงที่ DC แต่ใกล้ it. In ความเป็นจริงทั้ง MA และ 1 ลำดับ IIR LPF มีความลาดชันในช่วงทศวรรษที่ 20dB ในแถบหยุดหนึ่งต้องมีขนาดใหญ่กว่า N ที่ใช้ในรูปที่ N 32 เพื่อดู แต่ในขณะที่ MA มีค่า null ของสเปกตรัมที่ F k N และ evelope 1 เท่า IIR ตัวกรองมีเพียง 1 เฟรมหากใครอยากได้ตัวกรอง MA ที่มีคุณสมบัติในการกรองสัญญาณรบกวนเช่นเดียวกับ I IR กรองและตรงกับ 3dB ตัดความถี่ที่จะเหมือนกันเมื่อเปรียบเทียบสองสเปกตรัมเขาจะตระหนักว่าระลอกคลื่นวงหยุดของตัวกรอง MA up.3dB สิ้นสุดลงด้านล่างของตัวกรอง IIR เพื่อให้ได้เหมือนกัน หยุดการระดมคลื่นแบนเช่นการลดทอนสัญญาณเสียงเดียวกันเป็นตัวกรอง IIR สูตรสามารถแก้ไขได้ดังนี้ฉันพบกลับสคริปต์ Mathematica ที่ฉันคำนวณตัดออกหลายตัวกรองรวมทั้ง MA หนึ่งผลที่ได้ขึ้นอยู่กับการประมาณสเปกตรัมของ MA รอบ f 0 เป็นพาราโบลาตาม MA Omega Sin Omega N 2 Sin Omega 2 Omega 2 pi F MA F ประมาณ N 1 6 F 2 NN 3 pi 2 และมาข้ามกับ 1 sqrt จากที่นั่น Massimo 17 มกราคม 16 ที่ 2 08 การตอบสนองความถี่ของตัวกรองเฉลี่ยที่ใช้งานการตอบสนองความถี่ของระบบ LTI คือ DTFT ของการตอบสนองของอิมพัลส์การตอบสนองต่ออิมพัลส์ของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ L-sample คือเมื่อตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่เป็น FIR การตอบสนองต่อความถี่ลดลงเหลือน้อย sum. We สามารถใช้ identity. to ที่มีประโยชน์มาก เขียนตอบสนองความถี่ตามที่เราได้ให้ aej N 0 และ ML 1 เราอาจสนใจขนาดของฟังก์ชันนี้เพื่อหาความถี่ที่จะได้รับผ่านตัวกรองที่ไม่มีการลดทอนและที่ถูกลดทอนด้านล่างเป็นพล็อตของขนาดของ ฟังก์ชั่นนี้สำหรับ L4 สีแดง 8 สีเขียวและสีน้ำเงิน 16 แกนในแนวนอนมีค่าตั้งแต่ศูนย์ถึงเรเดียนต่อตัวอย่างคำเตือนว่าในทั้งสามกรณีการตอบสนองต่อความถี่มีลักษณะ Lowpass ค่าคงที่เป็นศูนย์ความถี่ในอินพุทจะผ่านตัวกรอง unattenuated ความถี่ที่สูงขึ้นบางอย่างเช่น 2 จะถูกกำจัดออกโดยตัวกรองอย่างสมบูรณ์อย่างไรก็ตามหากเจตนาคือการออกแบบตัวกรอง lowpass เราก็ยังไม่ได้เป็นอย่างดีบางส่วนของความถี่ที่สูงขึ้นจะลดทอนเพียงประมาณ 1 10 สำหรับ ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ 16 จุดหรือ 1 3 สำหรับค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่สี่จุดเราสามารถทำอะไรได้ดีกว่าที่กล่าวข้างต้นพล็อตสร้างขึ้นโดยรหัส Matlab ต่อไปนี้ 0 pi 400 pi H4 1 4 1-exp - i omega 4 1- exp - io mega H8 1 8 1-exp - i omega 8 1-exp-i omega H16 1 16 1-exp - i omega 16 1-exp-i omega พล็อตโอเมก้า, abs H4 abs H8 abs H16 แกน 0, pi, 0, 1.Copyright 2000- - University of California, Berkeley และฉันใช้คำตอบที่สองในอัลกอริธึมของฉันเพื่อคำนวณ 3dB ตัดความถี่ของตัวกรองซึ่งใช้งานได้ดีเนื่องจากความยาวของตัวกรองของฉันมักจะสูงกว่า 300 ฉันยืนยันด้วยการตอบสนองขั้นตอน แต่ฉันต้องการมีแหล่งที่มาหรือ derivation สำหรับสูตรนี้ฉันพยายามด้วยมือกับชุดเทย์เลอร์หยุดหลังจากระยะที่สองและสามฉันมาใกล้ แต่ไม่ตรงกับสูตรและ mapple ให้ฉันผลที่ถูกต้อง แต่ extremly ความหวังความหวัง guys คุณสามารถ help. and คุณ don t ต้องประมาณตัวอย่างใด ๆ ในนี้มีหนึ่ง แต่คุณต้องประมาณบาป 2 กับจำนวน จำกัด ของเงื่อนไขของชุด Maclaurin สิ่งที่คุณต้องการเป็นโซลูชั่นที่ถูกต้องนี้ 2 บาป 2 omega0 N 2 N 2 sin 2 omega0 2 และคำตอบที่ฉันมีคือดีที่สุดเท่าที่ฉันสามารถบอกได้ใกล้เคียงที่สุดทำให้สมมติฐานน้อยที่สุด มีตัวกรองความยาวคลื่นที่มีระยะเวลาทำงานอยู่ในลำดับที่ไม่ต่อเนื่องพร้อมกับดัชนีเวลาจำนวนเต็มไม่สามารถเป็นศูนย์ได้เราจึงหลีกเลี่ยงสิ่งนี้ด้วยการเปิดใช้ดัชนีเวลาขาออก เพื่อให้มีเศษของเศษส่วนเสมอในกรณีของ N แม้เป็นตัวอย่างจริงในโลกถ้าข้อมูลถูกเก็บตัวอย่างทุกเที่ยงคืนค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของระยะศูนย์จะคำนวณได้ทุกๆเที่ยงการจัดทำดัชนีที่ไม่ธรรมดานี้จะช่วยให้ รูปแบบเฟสเป็นศูนย์เดียวกันของการตอบสนองความถี่ FN โอเมก้าทั้ง N คี่และ N แม้น่าเสียดายที่การตอบสนองความถี่ไม่มีทางออกที่เป็นสัญลักษณ์สำหรับ omegac -3 dB ตัดความถี่เช่น that. Strictly พูด sqrt ประมาณ -3 01 เดซิเบล แต่ฉัน คิดว่าเป็นสิ่งที่คนเราหมายถึงเมื่อพวกเขากล่าว -3 dB เพราะมิฉะนั้นจะเป็นเพียงจำนวนโดยพลการความถี่การตอบสนองโดยประมาณหมวก N โอเมก้าใช้เป็นส่วนประกอบแทนของผลรวมยอดหลักของผลรวมที่แท้จริงและความถี่ของอินทิกรัลตัวอย่าง onses converge ที่มีขนาดใหญ่ N. เราสามารถพิสูจน์ convergence โดยการแนะนำฟังก์ชัน GN chi FN omega และหมวก N chi หมวก N omega กับอาร์กิวเมนต์ normalized เช่นโอเมก้า frac นำศูนย์แรกของฟังก์ชันทั้งสอง chi 1. GN chi เรียกว่า วงดนตรีของ N-passive band วง จำกัด ที่ N ขนาดใหญ่และฟังก์ชัน N chi มีทั้งฟังก์ชันข้อความ แต่น่าเสียดายที่ -3 dB cutoff frequency ไม่มีการแก้ปัญหาเป็นสัญลักษณ์ในวงประมาณ N omega ทั้งสำหรับ N ที่ต่างกันเพียงอย่างเดียว แตกต่างจากการประมาณ N 1 โดยการทำ map omega rightarrow omega N ดังนั้นมันจึงเพียงพอที่จะแก้ปัญหาเกี่ยวกับการตัดเฉือนความถี่โดยประมาณ -3 dB omegac N ตัวเลขสำหรับ N 1. ให้ความถี่ cutoff โดยประมาณสำหรับ arbitrary N ซึ่งดูเหมือนจะง่ายกว่า approximation กว่า Massimo s สำหรับ N 300 ของคุณควรมีปัญหาโดยใช้ Massimo s และค่าคงที่คำตอบนี้ยังไม่เกี่ยวข้องโดยฉันมองอีกเล็กน้อยและพบว่า Massimo ประมาณ FN โอเมก้ากับหมวก M omega, choosin g M ดังนั้นขีด จำกัด ของอนุพันธ์ที่สองของการตอบสนองต่อความถี่และการประมาณที่ตรงกับโอเมก้า 0. นี้ช่วยเพิ่มการประมาณที่โอเมก้าขนาดเล็กซึ่งรวมถึงจุดตัด -3dB โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อประมาณค่าเฉลี่ยของ N. Massimo เล็ก ๆ มักจะประเมินค่าความถี่ cutoff สูงเกินไป ดูข้อผิดพลาดในการเปรียบเทียบออกจากห้องเพื่อปรับปรุงโดยการเปลี่ยนค่าคงที่ 1 ข้อผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดสำหรับ N 2 ถ้าข้อผิดพลาดของข้อ จำกัด เท่ากับข้อผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดที่สองที่ใหญ่ที่สุดที่ N 3 เราจะได้รับการเปรียบเทียบที่ดียิ่งขึ้น นี้และอื่น ๆ tweaks ของคงที่เช่น Matt s คงที่ 0 863031932778066 ทำงานที่น่าแปลกใจดีสำหรับ N ใหญ่ดูการเปรียบเทียบข้อผิดพลาดสำหรับขนาดใหญ่ N ข้อผิดพลาดตกโดยปัจจัย 1000 สำหรับการเพิ่มขึ้นของทุก N โดยปัจจัยของ 10 คำอธิบายสำหรับสิ่งเหล่านี้ คือความถี่ของการตัดเฉือนที่แท้จริงเป็นฟังก์ชันของ N มีชุด Laurent และค่าประมาณและชุด Laurent มีดังนี้ a1 a 2 a 78311475650302030063992 a3 approx - frac ถ้าเป็น m ประมาณ atch ใน N - เทอร์ถูกทำให้ถูกต้องข้อผิดพลาดประมาณควรจะลดลงโดยปัจจัยของ 10 5 สำหรับการเพิ่มขึ้นของขนาดใหญ่ N โดยปัจจัยจาก 10 ค่าสัมประสิทธิ์ของชุด Laurent ผลรวม frac ของฟังก์ชัน fx เป็น x rightarrow infty สามารถพบ iteratively โดยเมื่อเราไม่ได้ fx ในรูปแบบสัญลักษณ์ แต่สามารถแก้ปัญหาได้ตัวเลขเพื่อความแม่นยำสำหรับ x ขนาดใหญ่มาก ๆ เราสามารถทำเทียบเท่าขั้นตอนข้างต้นตัวเลขสคริปต์ Python ต่อไปนี้ที่ใช้ SymPy และ mpmath จะคำนวณ จำนวนที่กำหนดที่นี่ 10 จากสัมประสิทธิ์แรก ak ในความแม่นยำที่ต้องการสำหรับชุด Laurent ความถี่ตัดที่แท้จริงบนคอมพิวเตอร์ของฉันโปรแกรมทำงานประมาณ 7 นาทีจะพิมพ์ต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าชุด Laurent ประกอบด้วยเพียงอำนาจเชิงลบคี่ ตัวเลขเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงทศนิยม 24 ตำแหน่งไม่ได้มาจากค่าประมาณในแง่ที่ว่าชุด Laurent มีความเป็นเอกลักษณ์ไม่มีชุด Laurent อื่น ๆ ที่เท่ากับ omegac N โดยใช้เพียง a1 และ a3 ซึ่งเป็นแบบตัดสั้น ๆ สองคำ การประมาณค่าแบบ Laurent สามารถสร้างได้โดยประมาณ c - frac โดยประมาณมีข้อผิดพลาด 1 N 5 ที่มีขนาดใหญ่ N ให้ดูที่คอลัมน์เปรียบเทียบข้อผิดพลาด h และ i ตามลำดับชุด Laurent ที่ถูกตัดทอนอีกต่อไปโดยมีข้อกำหนดเพิ่มเติมจากการประมวลผลของสคริปจะลดลงอย่างรวดเร็ว , 1 N สำหรับการประมาณระยะเวลา 5 ที่คอลัมน์ j ในลูกศร comparison. up ข้อผิดพลาดจากฉัน Olli. but ด้วยเหตุผลบางอย่างที่ฉันคิดว่าคำตอบนั้นง่ายมากปกติฉันต้องการออกแบบตัวกรอง FIR aasusal สมมาตรเพราะพวกเขาเป็นศูนย์ แต่โดยปกติฉัน จำกัด ตัวเองให้เป็นเลขคี่ของก๊อกที่ไม่ใช่ศูนย์การทำเช่นนี้โดยทั่วไปมากขึ้นฉันอาจจะติด FIR สาเหตุ average. let ย้ายกล่าวว่าจำนวนของก๊อกน้ำคือการใช้ mathcal - transform และสรุปทางเรขาคณิต formula. substituting z leftarrow e เพื่อให้ได้ DTFT โดยปกติเราเรียกว่าสิ่งที่คูณ X z ฟังก์ชันการถ่ายโอนและสิ่งที่คูณ X อีตอบสนองความถี่หมายถึงเฟสเชิงเส้นความล่าช้าคงที่ของตัวอย่าง Frac มันไม่ได้เปลี่ยนกำไร ปัจจัย frac เป็นปัจจัยกำไร -3 dB ความถี่ omegac ปกติเราหมายถึง -3 0103 dB ความถี่เนื่องจากที่สอดคล้องกับครึ่งความถี่ไฟฟ้าเป็นเช่นนั้น 2 sin 2 omegac N 2 N 2 sin 2 omegac 2.so ให้จำนวน taps N คุณต้องแก้ omegac ที่อาจจะไม่ง่ายที่จะทำแบบปิด แต่คุณสามารถขุดเครื่องคิดเลขและปลั๊กของคุณและ chug จนกว่าคุณจะได้คำตอบที่มีความแม่นยำเพียงพอหรือคุณจะได้ MATLAB ทำ it. a ประมาณดีสำหรับ omegac สามารถมีขนาดใหญ่ N โดยใช้ ident trig หนึ่ง i ปกติใช้เมื่อ im fiddling กับการแปลง bilinear และสามครั้งแรก เงื่อนไขสำหรับชุด Maclaurin สำหรับ cos. if คุณเสียบประมาณว่าสำหรับบาป 2 ในสมการก่อนหน้าและแก้ปัญหาข้ามขั้นตอน lotta เพราะฉันขี้เกียจเกินไปที่จะ LaTeX มัน out. Olli วิธีที่ดีที่จะเปรียบเทียบกับ results. doing ของคุณนี้ หนึ่งที่ดีกว่ากับคำอื่นสำหรับประมาณของบาป 2 เป็น doable ต้องใช้เพียงวิธีแก้ปัญหาสมการกำลังสองสำหรับ omega0 2 ประมาณที่จะใช้การรักษาสี่เงื่อนไขแรกของการขยายตัว cos คือการประมาณและแก้ปัญหาสำหรับ omegac 2 สอดคล้องกันมากที่สุด ตอบฉันได้รับ is. with ตัวเลือกที่มีลักษณะ like. and กับ - ตัวเลือกมันดูเหมือน like. which มากใกล้เคียงกับการประมาณครั้งแรกฉันได้ข้างต้นดังนั้นฉันเดาฉันจะใช้ - option. so แม้ว่าฉันไม่สามารถพูด analytically ทำไมตัวเลือกควรจะปฏิเสธผม เดาคำตอบที่ถูกต้องที่สุดของฉันจะ be. which มีขีด จำกัด สำหรับขนาดใหญ่ N แสดง above. does คนอื่นมีวิธีที่ดีกว่าเพื่อดูวิธีการแก้ปัญหาปิดรูปแบบที่ดีใน this. last tweek นี้ก่อนที่จะเกษียณประมาณ 2 บาป theta about theta 2 left 1 - frac theta 2 frac theta 4 right ควรจะดีสำหรับทุกคน 0 le theta le frac เพื่อที่จะให้สิ่งนั้นเกิดขึ้นและทำให้พฤติกรรมยังคงเป็นสิ่งที่ดีจริงที่ theta ll 1 เราควรจะกลัดกลับสุดท้าย สัมประสิทธิ์ของ frac เพื่อให้ frac เพื่อให้ approximation เป็นสิ่งที่ดีสำหรับบาป 2 left frac right doesn t เพิ่มความซับซ้อน แต่อาจทำให้คำตอบที่ดีขึ้น frac เป็นวงดนตรีที่มีอยู่อย่าง จำกัด อิมพัลรถไฟเพื่อ approximating กับข้อความฟังก์ชันเช่นในคำตอบของฉันคือ exa ct ภายในความแม่นยำของ 2 78311475650302030063992 ในขีด จำกัด ของ N ใหญ่ที่ omega0 frac ของคุณให้ประมาณ 0 ครั้งที่ 88 ตัดจริงและ omega0 sqrt ของคุณให้ประมาณ 1 ครั้ง 035 จริง cutoff ฉันคิดว่าถ้าคุณต้องการให้ประมาณดีกว่าคุณ ควรรวมถึงค่าคงที่ที่ยาวนาน Olli Niemitalo 13 ม. ค. 16 ที่ 8 46.Robert คุณต้องใช้เครื่องหมาย - ในสูตรสมการกำลังสองของคุณเนื่องจากจะช่วยให้โซลูชันที่ชุดเทย์เลอร์ยังคงเป็นชนิดของ approximates ฟังก์ชันเดิมวิธีอื่นคือเท่านั้น ถูกต้องสำหรับเทย์เลอร์พหุนาม แต่ไม่ได้ทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันเดิมเพราะค่าที่ใหญ่กว่าเทย์เลอร์พหุนาม doesn t แม้จะมาใกล้กับฟังก์ชันเดิมอีกต่อไปดังนั้นสำหรับการขยายเทย์เลอร์รอบ x0 0 คุณมักจะต้องเลือกทางออกที่เล็กที่สุดใน เพราะเป็นจุดที่ใกล้ที่สุดทำงานได้ดีที่สุด Matt L Jan 13 16 at 14 23. ลองเปรียบเทียบข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขที่เกิดขึ้นจริงกับการประมาณค่าที่ต่างกันของ freque cutoff ncy ข้อผิดพลาดที่ให้ไว้ในตารางคำนวณโดยการลบค่า omegac ความถี่ตัด -3 dB ที่แท้จริงที่ได้จากการประมาณนี้หมายเหตุค่าประมาณ e ไม่อนุญาตให้ N 2 ข้อผิดพลาดบางส่วนแสดงเป็น 0 แต่เพียงหมายถึงขนาดของมันคือ น้อยกว่าประมาณ 1E-17 ที่และความไม่ถูกต้องที่เป็นไปได้อื่น ๆ ได้จากการใช้เลขคณิตลอยสองจุดแม่นยำในการคำนวณของการประมาณและข้อผิดพลาด. มีอิสระในการแก้ไขเพิ่มอีกประมาณ OK นี้เป็นความสนุกที่ฉันจะเพิ่มของฉันเอง ความคิดและการประมาณครั้งแรกที่ออกมาเหมือนกันกับที่ได้รับจาก Massimo ในคำตอบนี้และคำที่มาจาก Olli ในหัวข้อนี้ผมยังรวมเอาไว้ที่นี่เนื่องจากรากศัพท์ของมันแตกต่างจากนั้นฉันจะแสดงค่าประมาณที่ดีกว่าซึ่ง มีค่าความผิดพลาดสูงสุด 0 002 สำหรับ N 2 ซึ่งในกรณีนี้แน่นอนเรามีวิธีแก้ปัญหาสำหรับการตัดทอนความถี่ omegac pi 2 ที่แน่นอนและมีข้อผิดพลาดที่สัมพันธ์กันน้อยกว่า 1 2 cdot 10 สำหรับ N ge 10 มัน เป็นที่รู้จักกันดีและได้รับการแสดงโดย Olli และ Robert ในคำตอบของพวกเขาที่ทำงาน amplitude มูลค่าจริงของตัวกรองเฉลี่ยความยาว N จะได้รับโดย 3 dB ตัดออกความถี่ omegac satisfies. เท่าที่ฉันรู้ว่ามี ไม่มีทางที่ง่ายในการแก้ปัญหาการวิเคราะห์เพื่อ Eq 2 กุญแจสำคัญในการประมาณนำเสนอที่นี่คือ - ไม่แปลกใจ - ประมาณเทย์เลอร์ความแตกต่างระหว่างชุดเทย์เลอร์ที่ใช้ในการตอบ Robert s คือฉันไม่แยกประมาณฟังก์ชันไซน์หรือค่ากำลังสองของพวกเขาใน คำตอบของโรเบิร์ต แต่ฉันตรงประมาณฟังก์ชั่นความสมบูรณ์สมบูรณ์ที่กำหนดไว้ใน 1 ประมาณ N sin omega 2 หรือค่ากำลังสองของมันจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดที่ใหญ่กว่าเมื่อทำงานที่สมบูรณ์เป็น approximated เพราะอาร์กิวเมนต์ N omega 2 ไม่เคยเข้าใกล้ศูนย์แม้สำหรับขนาดใหญ่ ค่าของ N โดยประมาณเพียงส่วนของ sin nomega sin 2 หรือค่าของ squared ก็โอเคโอเมก้า omegac ไม่เข้าใกล้ศูนย์สําหรับ n ใหญ่อย่างไรก็ตามฉันจะใช้ทั้งสอง approxi mations แต่ฉันจะใช้เทย์เลอร์ชุดของ HN omega สำหรับสัญกรณ์ง่ายฉันจะใช้ x โอเมก้า 2 และ FN x HN omega ชุดเทย์เลอร์ของ FN x รอบ x0 0 จะได้รับโดยค่าขนาดใหญ่ของ N ประมาณนี้ถูกต้องตามกฎหมายเพราะ omegac ตัดความถี่มีแนวโน้มที่จะค่าเล็ก ๆ สำหรับการประมาณครั้งแรกที่ฉันใช้เพียงสองคำแรกใน 3 การแก้ปัญหา 4 ให้แก้ปัญหาโดยประมาณแรกปัญหากับวิธีนี้คือว่าลำเอียงซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดของมัน doesn t converge เป็นศูนย์สำหรับขนาดใหญ่ N แต่ก็จะเปิดออกที่โดยการปรับขนาดอย่างง่ายของ 5 ลำเอียงนี้สามารถลบออกได้สำหรับศูนย์ความลำเอียงที่เราต้องการ. ที่ฉันใช้ notation omega N เพื่อเน้นการพึ่งพาของ N แก้ 6 กับการแสดงออกทั่วไป เราจะให้สมการซึ่งจะต้องได้รับการแก้ไขตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาโดยตอนนี้ที่มีชื่อเสียงประมาณ 7 กับที่กำหนดโดย 9 เป็นเหมือนสูตรของ Massimo คุณต้องหารด้วย 2 pi เพื่อรับค่าคงที่มายากลของเขาและมัน s เช่นเดียวกับที่ได้รับโดย Olli ในทางที่แตกต่างกัน ในหัวข้อนี้เราจะเห็นว่าเทย์เลอร์ประมาณให้เรารูปแบบที่ถูกต้องของสมการ แต่ค่าคงที่จะต้องถูกกำหนดโดยกระบวนการ จำกัด เพื่อที่จะได้สูตรที่มีความลำเอียงเป็นศูนย์สำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติมากที่สุดสูตรนี้มีความถูกต้องเพียงพอกับ ข้อผิดพลาดสูงสุดของ 6 9 cdot 10 สำหรับ N ge 10 การใช้เงื่อนไขทั้งหมดในการประมาณ 3 จะทำให้เราประมาณค่าได้ดียิ่งขึ้นกระบวนการนี้เหมือนกับก่อนที่เราจะกำหนดค่าประมาณเทย์เลอร์ของ FN x เท่ากับ 1 sqrt และแก้ไขค่า xc มีเพียงอำนาจของ x ดังนั้นเราจะต้องแก้สมการกำลังสองนี้จะให้เราสูตรต่อไปนี้ทราบว่าสี่โซลูชั่นของสม quartic เราต้องเลือกที่มีขนาดเล็กของทั้งสองคนบวกเพราะที่ ค่าที่เทย์เลอร์ชุดใกล้ชิดประมาณ FN x โซลูชั่นอื่น ๆ ในเชิงบวกเป็นสิ่งประดิษฐ์ในช่วงที่เทย์เลอร์ชุด diverges จาก FN x ประมาณ 10 มีปัญหาเล็ก ๆ เช่นเดียวกับรุ่นแรกของ appr ก่อนหน้านี้ oximation ให้โดย 5 ในการที่จะมีอคติเล็ก ๆ อคตินี้สามารถลบออกได้ในลักษณะเดียวกับก่อนโดยพิจารณาข้อ จำกัด 6 เวลานี้กับ omega N ประมาณสุดท้ายของฉันตาม 10 แต่มีศูนย์อคติจะให้ by. where b นอกจากนี้ยังสามารถได้รับโดยการแก้สมการคล้ายกับ 8 มันสามารถจริงจะเขียนในแง่ของที่กำหนดโดย 9 b frac sqrt -1 0 แท็ก 997314251642175 ฉันคำนวณค่าที่แน่นอนของ omegac ตัวเลขสำหรับ N ในช่วง 2,100 ดังนั้นฉันสามารถ คำนวณความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ซึ่งช่วยให้การประมาณค่าโอเมก้าที่แตกต่างกันฉันจะพูดคุยเกี่ยวกับการเปรียบเทียบกับ zero bias omega ที่ให้โดย 7 กับค่าที่กำหนดไว้ที่ 9 และ omega ให้ด้วย 11 และ 10 โดยมีค่า b เป็น 12 รูปด้านล่างแสดง ข้อผิดพลาดญาติตามที่กำหนดโดย 13 ในฐานะที่เป็น N เส้นโค้งสีแดงเป็นข้อผิดพลาดญาติของการประมาณ 7 และเส้นโค้งสีเขียวเป็นข้อผิดพลาดของการประมาณ 11 ทั้งสองประมาณมีศูนย์ความลำเอียงพวกเขามาบรรจบกันเพื่อให้ค่าที่แน่นอนสำหรับขนาดใหญ่ N แต่สีเขียว เส้นโค้ง converges si เร็วกว่าอย่างมีนัยสำคัญสูตร zero-bias ที่แสดงข้างต้นเป็นค่าประมาณใกล้เคียงกับความถี่ cut-off ที่แท้จริง แต่สูตรที่ดีกว่าอย่างหนึ่งคือ 10,11,12 มีความอึดอัดใจมาก Olli มีแนวคิดในการปรับแต่งค่าคงที่ของสูตรในสูตรง่ายๆ 7 As ตราบเท่าที่เราใช้ค่าที่ดีที่สุดของที่กำหนดโดย 9 เราสามารถเปลี่ยนค่าคงที่ตัวอยางโดยไมสูญเสียสมการ zero-bias ดังนั้นเราจึงไดสูตรใหมที่มีคาคงที่เพื่อปรับใหดีที่สุดหากฉันเขาใจอยางถูกตอง Olli c ค่าความผิดพลาดสำหรับ N 2 อย่างไรก็ตามผมคิดว่าค่า N 2 ไม่เกี่ยวข้องมากเพราะสำหรับ N 2 omegac สามารถคำนวณ anegically 2 om 2 ดังนั้นเรา don t จำเป็นต้องเพิ่มประสิทธิภาพสูตร 14 สำหรับกรณี N 2 ถ้าค่าใช้จ่ายของการประมาณที่ค่าที่มีขนาดใหญ่ของ NI เพิ่มประสิทธิภาพคงที่ c ใน 14 ต่อไปนี้ถ้า omegac N เป็นความถี่ตัดที่แน่นอนสำหรับชุดของความยาวของตัวกรองที่ระบุ N เรามีระบบที่กำหนดไว้มากเกินไปของสมการ . ที่เราสามารถเลือกใหม่ได้ ชุดค่า asonable ของค่าสำหรับการจัดเรียงใหม่ 15 ให้ชุดของสมการอื่นเวลานี้ในเชิงเส้นที่ไม่รู้จัก c วิธีแก้ปัญหาสี่เหลี่ยมที่ดีที่สุดของ 16 คือ. ที่ L คือจำนวนของค่าที่แตกต่างกันสำหรับ N ที่ใช้ในผลรวมถ้าคุณใช้จำนวนเต็มทั้งหมด ค่าของ N ในช่วง 2,100 คุณ get. which ใกล้เคียงกับค่า Olli s แต่ที่ให้ประมาณดียิ่งขึ้นสำหรับทั้งหมด N ge 3 ฉันเพิ่มค่าความผิดพลาดในคอลัมน์ตารางนี้ f. ในคำตอบของเขา Robert สงสัยว่าทำไมเขา ต้องทิ้งคำตอบบวกที่มีขนาดใหญ่เป็นอันดับสองสำหรับ omegac เมื่อใช้ชุดเทย์เลอร์ลำดับที่ 4 สำหรับบาป 2 x ภาพด้านล่างแสดงเหตุผลฟังก์ชันความกว้างสี่เหลี่ยมเดิมจะแสดงเป็นสีน้ำเงินสำหรับ N 10 สาย 3dB เป็นสีแดงฟังก์ชันสีเขียวคือเทย์เลอร์ ประมาณซึ่งข้ามเส้นสีแดงสองครั้งนี้เป็นสองโซลูชั่นบวกสำหรับ omegac เนื่องจากฟังก์ชันเป็นแม้เรายังได้รับสองโซลูชั่นเดียวกันกับสัญญาณเชิงลบซึ่งทำให้สี่ตามควรกรณีสำหรับพหุนามคำสั่งที่สี่อย่างไรก็ตาม, มันเป็น o เห็นได้ชัดว่าขนาดใหญ่ของสองโซลูชั่นบวกเป็นสิ่งประดิษฐ์เนื่องจากความแตกต่างของการประมาณเทย์เลอร์สำหรับอาร์กิวเมนต์ขนาดใหญ่ดังนั้นจึงเป็นเพียงวิธีการแก้ปัญหาที่มีขนาดเล็กซึ่งทำให้รู้สึกคนอื่น ๆ ไม่ได้ให้คำตอบอีกเพราะวิธีนี้จะแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงใน ความรู้สึกที่ฉันไม่พยายามที่จะประมาณฟังก์ชั่นความกว้างของตัวกรองเพื่อคำนวณประมาณของความถี่ตัด แต่ฉันใช้ข้อมูลที่เหมาะสมวิธีการที่เหมาะสมให้ความถี่ตัดที่แน่นอนซึ่งได้รับการคำนวณตัวเลขและที่ยังได้รับสำหรับ ชุดของความยาวตัวกรองในคอลัมน์ด้านซ้ายสุดของตารางนี้ด้วยข้อมูลที่เหมาะสมมักจะเป็นปัญหาที่ยากที่สุดคือการหาพารามิเตอร์ที่เหมาะสมของฟังก์ชันประมาณเนื่องจากจากคำตอบอื่น ๆ ในหัวข้อนี้เรารู้ว่าด้วยค่าคงที่เลือกอย่างเหมาะสมและ c เป็นค่าประมาณที่น่าแปลกใจสำหรับช่วงกว้างของค่า N และตั้งแต่ Wolfram Alpha บอกเราว่าการขยายชุด Laurent ของ 1 ที่ N infty มี เงื่อนไขเฉพาะกับอำนาจแปลกของ 1 N จะปรากฏเหมาะสมเพื่อ parameterize ตัดความถี่โดยชุด Laurent กับอำนาจแปลกของ 1 N. เราสามารถคำนวณค่าที่แน่นอนของ a1 ใน 2 จากความต้องการที่ประมาณการหมวก c N ได้ zero bias นั่นคือ converges เป็นความถี่ cut-off ที่แท้จริงสำหรับ N ที่มีขนาดใหญ่นี่เป็นคำอธิบายในคำตอบอื่น ๆ ของฉันค่าของมันคือค่าคงที่อื่น ๆ ใน 2 สามารถคำนวณได้จากรูปแบบสี่เหลี่ยมอย่างน้อย 2 ของข้อมูลซึ่งเป็นค่า ความถี่ตัดอย่างแม่นยำพอดีกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าน้อยที่สุดสามารถคำนวณได้จาก Matlab Octave script ต่อไปนี้โดยสมมติว่าตัวแปร wc เป็นเวกเตอร์ที่มีการตัดค่าความถี่ที่แน่นอนก่อนการคำนวณสำหรับชุดค่าความยาวของตัวกรองที่ต้องการค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้คือ เริ่มต้น a3 1 201014809636180 a5 0 768735238011194 a7 0 514237034990353 a9 0 548681885931852 end. with a1 ให้โดย 3 ค่าประมาณนี้ใกล้เคียงกับค่าที่แน่นอนของ omegac ข้อผิดพลาดในการประมาณนี้สามารถพบได้ในคอลัมน์ตารางนี้ g